근로계약서 대해 간단한 답변부터 드리겠습니다. 근로계약서는 어떤 아르바이트를 진행하더라도 쓰셔야 하며 일을 시작하기 전에 쓰는 것이 원칙입니다. 보통 계약서에 적힌 30일의 경우 사용자의 입장에서 근로자를 해고할 때 통보하는 것이지 근로자가 그런 의무를 가지고 있진 않습니다.
무단 퇴사로 인하여 손해가 발생했을 경우에는 실질적인 손해에 대해 손해배상 청구가 들어올 수도 있지만, 한 달 내 정당한 방법으로 퇴사를 했을 때 급여의 90%만 지급하는 것은 불공정계약 성립의 여지가 있으며, 질문자님의 경우엔 근로계약서는 유지가 됩니다.
말씀하신 것처럼 계약의 전부가 무효가 되는 것은 아니기 때문에 해당 사안에 관련하여 법적인 문제가 발생했다면 세심한 관찰력으로 서류를 검토하여 불리한 부분을 찾아내는 저의 도움을 받아보세요.